博士論文要旨

題目: The rotation sets versus the Markov partitions
(回転集合対マルコフ分割)

円周から円周への向きを保つ同相写像に対してPoincare は その写像による点の平均移動距離を表す位相不変量である回転数(rotation number)を定義したが、 Newhouse-Palis-Takens はこの定義を拡張して円周上の写像度１の連続写像に対して 回転集合(rotation set)を定義した。 その後、n 次元トーラス上の恒等写像にホモトピックな連続写像に対して Kim, Mackey and Guckenheimer, Llible and Mackey などにより 種々の回転集合が定義され、Misiurewicz and Ziemian は、系統的にこれらを整理した。 1992年には Franks と Pollicott が独立に、種数が2以上の曲面に対して回転集合を定義したが、 これら2つは定義が若干違っていた。 これらすべての回転集合は恒等写像にホモトピックな写像に対して定義されたものであった。 しかし回転集合は、定義によれば、多様体上の各点が写像によりどれだけ動くかを ホモロジー的に計るものである。 この論文では、写像のクラスを、1次元ホモロジー群へ誘導する同型写像が恒等写像となるような 同相写像にまで広げて回転集合を新たに定義した。
一方、同相写像の力学系の研究を記号力学系の言葉に言い換えて、 もとの写像の力学系の研究をする方法がある。記号力学系 (Σ_A,σ) とは、 有限個のアルファベットからなるアルファベット集合 K={ 1,2,...,m } をとり、Σ = K^Z として、 Σ の各点を各桁が K の成分からなる両側無限列で表し、Σ 上の写像として、 シフト写像 σ、すなわち無限列の座標を左に1つずらすというものを考えるものである。 このとき、σ不変な点列の集合Σ_Aを考えた (Σ_A,σ) が記号力学系である。 閉多様体M上の力学系 (M,f) を記号力学系 (Σ_A,σ) で表現するには、 M をマルコフ分割と呼ばれる有限個の長方形 R₁, R₂, ..., R_m に分割し、任意の整数 n に対して fⁿ(x)∈ R_i のとき a_n=i (ただし、a_k ∈ { 1,2,...,m })と定義して、 点 x の f の反復による挙動を両側無限列 ... ,a_-2,a_-1,a₀,a₁,a₂,... で表現すれば良い。 マルコフ分割は、Adler and Weiss によって初めて2次元トーラスのアノソフ可微分同相写像に対する例が構成され、 Sinai により一般のアノソフ可微分同相写像のマルコフ分割が系統的に定義された。 また、Bowen は、Sinai の方法を拡張し、公理A系に対して、非遊走集合を有限個の基本集合に分割し、 その各基本集合上でマルコフ分割を構成した。Thurston は擬アノソフ可微分同相写像に対するマルコフ分割を構成した。
この論文では新たな回転集合の定義のもとで、多様体Mと同相写像fの対 (M,f) がマルコフ分割 R を持つとき、 R と回転集合を関係づけ、 回転集合を計算するアルゴリズムを与え、 それを利用して1次元ホモロジー群へ誘導する同型写像が恒等写像となるような同相写像の回転集合が 凸多面体になることを証明した。


M を閉多様体、f:M → M を同相写像で1次元ホモロジー群 H₁(M;Z) へ誘導する 同型写像 f_* が恒等写像であるもの (以下ホモロジー自明という)、(M^, p, M) を可換被覆空間のうち最大のものとする。 この最大可換被覆空間 M^ 上の被覆変換群 D(M^,p,M) は、 M の整数係数1次元ホモロジー群 H₁(M;Z) と同型になり、自然に同一視できる。また、f がホモロジー自明であることから、 被覆変換群D(M^, p, M) の任意の元 h は f の M^ への任意の持ち上げ F と可換になる。 さらに、 M^ 上の任意の閉曲線は、p により M 上の零ホモローグな閉曲線に写される。 (M,f) の回転集合の定義は以下のようにする。
M 上に基点 O をとる。 f の M^ への持ち上げの１つを F:M^ → M^ とする。 x の M^ への持ち上げの1つを ξ とする。 ξ に一番近い p^-1(O) の点O^(ξ) と、 Fⁿ(ξ) に一番近い p^-1(O) の点 O^(Fⁿ(ξ)) を結ぶ M^ 上の曲線の p による像は M 上の閉曲線になるが、これを h_n(x,f,F,O) とする。 この閉曲線の1次元ホモロジー類を [h_n(x,f,F,O)] とかく。 (M^, p, M) の性質から、 [h_n(x,f,F,O)] は O^(ξ) と O^(Fⁿ(ξ)) にのみ依存し、この2点の結び方にはよらない。 このとき、 lim_{n → ∞} [h_n(x,f,F,O)] / n が収束する場合には、この値は基点 O の取り方によらないことが分かり、 この値を ρ(x,f,F) とかき、x の回転ベクトルという。 ρ(x,f,F) は H₁(M; R) の元である。 回転集合 Rot(f,F) を {ρ(x,f,F) | x ∈ M } で定義すると、 これは実係数1次元ホモロジー群の部分集合になる。 F と異なる f の持ち上げ F' をとったとき、 ρ(x,f,F)-ρ(x,f,F')=α(F,F')となる H₁(M;Z) の元 α(F,F') が x によらず一意に定まり、このことから、回転ベクトルおよび回転集合は、 持ち上げの取り方により H₁(M; Z ) の元の平行移動分の任意性がある事が分かる。 この平行移動分の任意性を同一視したものの 同値類 {ρ(x,f,F) | F は f の持ち上げ } および { Rot(f,F) | F は f の持ち上げ } をそれぞれ ρ(x,f) および Rot(f) とかき、 これらもそれぞれ回転ベクトルおよび回転集合とよぶ。
M 上に f-不変な測度μ が存在する場合、 平均回転ベクトル ρ_μ(f,F) を ∫_M ρ(x,f,F) dμ で定義する。Birkhoffのエルゴード定理から、平均回転ベクトルは 測度 μ に関してほとんどいたる x について存在する。 同値類 {ρ_μ(f,F) | F は f の持ち上げ } を ρ_μ(f) とかき、この同値類も平均回転ベクトルという。 平均回転ベクトルには、以下のような特徴がある。

命題(エルゴード定理)
平均回転ベクトルは ρ_μ(f,F)= ∫_M [h₁(x,f,F,O)] dμ と表される。

つまり、平均回転ベクトルは、2点 x と f(x) の M^ への持ち上げ、 ξ と F(ξ) にのみ依存する。この命題を用いると、 次の定理を示すことができる。

定理
f,g を M 上のホモロジー自明な同相写像とし、 共通な不変測度μを持つものとする。 このとき f と g の合成写像に対する平均回転ベクトル ρ_μ(g f) は、 ρ_μ(f) + ρ_μ(g) と一致する。


この定理は、種数が2以上の閉曲面についての Franksの定理の拡張になっている。
(M,f)がマルコフ分割 R= { R₁, R₂, ..., R_m } を持つとき、任意の整数 n に対して fⁿ(x) ∈ R_i のとき a_n=i (ただし、a_k ∈ {1,2,...,m })と定義すると、 点xのfの反復による挙動は両側無限列 ... ,a_-2,a_-1,a₀,a₁,a₂,... と表される。 M のマルコフ分割は M^ に持ち上げることができ、 長方形 R_i, R_j の持ち上げで、 F(R^_i)∩ R^_jne emptyset なる R^_i, R^_j を取ることができる。 この長方形 R^_i, R^_j の内点 Int R^_i, Int R^_j 上に代表点 ξ_i, ξ_j をとり、 これらの点に最も近い p^-1(O)の点をそれぞれ O^(ξ_i) と O^(ξ_j)とする。 この2点を結ぶ曲線の p による像はM上の閉曲線となる。この閉曲線を α_ij とかき、 この閉曲線の1次元ホモロジー類を [α_ij] と書く。 (M^,p,M) の性質から、 [α_ij] は O^(ξ_i)とO^(ξ_j) にのみ依存し、 この2点のつなぎ方にはよらない。 一方、回転ベクトルを定義したM 上の閉曲線 h_n(x,f,F,O) は、始点を O^(ξ) 、 終点を O^(Fⁿ(ξ)) とする M^ 上の曲線の p による像であった。 h_n(x,f,F,O) は、O^(ξ_a0) と O^(ξ_an) とを結ぶ曲線 A_n の p による像で近似でき、p( A_n) のホモロジー類は、 閉曲線の連結和 α_{a0,a1}・ α_{a1,a2}・ ... ・α_an-1,an のホモロジー類と一致する。 このことから、以下の定理が成り立つことがわかる。

定理
ホモロジー自明な同相写像f の回転ベクトル ρ(x,f) は、 lim_{n → ∞} ([α_a-n,a-n+1]+...+[α_a-1,a0] +[α_a0,a1]+[α_a1,a2] +...+[α_an-1,an] ) / n と表される。


M 上の点x を記号力学系(Σ_A, σ) の点 ... ,a_-2,a_-1,a₀,a₁,a₂,... で表したとき、長さ2の部分列 (a_i,a_{i+1}) を 1次元ホモロジー群の元 [α_ai,ai+1] ∈ H₁(M; Z) に対応させる2ブロック写像をs: K× K → H₁(M; Z) とする。 上の定理は、回転ベクトルは、Σ_A 全体に対して、文字列から連続する2桁ずつとって s を施す写像 S : Σ_A → ( H₁(M; Z) ) ^Z で与えられることを示している。 これは、ソフィックシステムと呼ばれる系の典型例となっている。
一方、記号力学系 (Σ_A,σ) の各点は、 アルファベット集合 K の各元を頂点とする有向グラフ上の道で表現することができる。 (M,f) の周期点はグラフ上の閉道に対応する。グラフ上の閉道のうち、 同一の頂点を2つ以上含まないようなものを単純な閉道といい、対応する (M,f) の周期点を単純な周期点という。 グラフ上のすべての頂点を通る閉道があるとき、 このグラフを推移的なグラフといい、このとき (M,f) を推移的という。 (M,f) が推移的なとき、 (M,f) の任意の周期点に対する回転ベクトルは単純な周期点の回転ベクトルの組み合わせで作ることができ、 周期点以外の点の回転ベクトルは周期点の回転ベクトルの組み合わせで近似できることから、 回転集合は、単純な周期点に対応する回転ベクトルたちを頂点とした凸閉包で与えられることがわかる。 グラフ上には単純な閉道は有限個しかないことから、単純な周期点も有限個しかなく、したがって、 回転集合は実係数1次元ホモロジー群の凸多面体になることが分かる。 この結果と記号力学系の性質から次のことが証明できる。

定理
ホモロジー自明な推移的同相写像 (M,f) の 回転集合Rot(f)は凸多面体であり、各頂点は周期点によって実現される。


Bowen は、公理 A 系の非遊走集合を有限個の基本集合に分割し、 各基本集合上でマルコフ分割を構成した。 一般に、遊走点の ω 極限集合は非遊走集合に含まれることを用いれば、 以下の系が導かれる。

系
ホモロジー自明な公理A系の回転集合 Rot(f) は凸多面体の和集合である。

Thurston は、擬アノソフ可微分同相写像に対してマルコフ分割を構成した。 このことから、次の系が導かれる。

系
ホモロジー自明な擬アノソフ可微分同相写像の回転集合 Rot(f) は凸多面体である。