修士論文の要旨

論文題目: The continuity of the topological entropy of one dimensional maps with degenerate critical points
臨界点が退化した一次元写像の位相的エントロピーの連続性

区分的に単調な閉区間上の一次元連続写像の位相的エントロピーは、Collet, Crutchfied and Eckmann や Gora and Boyarsky によって数値評価および計算アルゴリズムが得られ、Misiurewicz and Szlenk や Milnor and Thurston によって、写像の臨界点の個数が変化しない場合について C¹ 関数に対しては連続であることが示された。しかし、写像の単調区間の個数(lap数)が摂動によって 変化するような場合には彼らの議論は適用できない。また、Misiurewicz and Szlenk は2以上の任意の 整数 r に対して位相的エントロピーが不連続になるような C^r 関数の例を構成した。 これは、写像の臨界点が退化している場合に、その位相的エントロピーは一般には連続とはならない ことを示している。
この例では、臨界点の退化度数が無限となるが、たとえば多項式のようなクラスの中で 写像を変化させていく場合、 臨界点が無限個になることはありえない。そこで、臨界点の退化度数が有限個の場合に その写像の位相的エントロピーが連続であるかという問題が提起される。 この論文は、この問題を肯定的に解決した。

定理
r >=2 とし、 F^r を C^r 関数の集合で

F^r= {f of C^r(I,I); for all x in I, there is k, 1 < k <= r such that f^(k)(x) <> 0 }.

このとき、位相的エントロピーは F^r で連続になる。