Mikio Murata Research

研究概要

主な研究対象は複素領域における微分方程式，差分方程式，特に可積分系の理 論である．現在は特にパンルヴェ微分方程式，離散パンルヴェ方程式，および ソリトン方程式の研究を行っている．今までに得られた結果は以下の通りで ある．
A0(1) 型曲面の8パラメータの離散パンルヴェ 方程式dP(A0(1)) は楕円関数を係数に持ち，他のすべての離散パンルヴェ方程式をその退化した 場合として発見することができるので，離散パンルヴェ方程式の中で最も包括 的である． ワイエルシュトラスの楕円関数の恒等式を用いて， dP(A0(1))の2種類の 解を発見した． 1種目はその解の形状が8個のブローアップする点のパラメータ付けから推測で きるので，自明解と呼ばれる． 2種目の解は方程式のパラメータが特定の制約条件を満たすときに存在し，線 型化可能な一階差分方程式を満たすので，リッカチ解と呼ばれる． 退化図式を適用して，方程式dP(A0(1)*), dP(A0(1)**) の自明解とリッカチ解の一階差分方程式を得た． また，E7(1)型対称性を持つ A1(1)曲面の方程式 dP(A0(1)) のリッカチ解の既知の一階差分方程式を得た．
楕円差分パンルヴェ方程式 dP(A0(1))の新しい表示を得た． その表示ではパラメータが対称的に現れることから，方程式の置換対称性が明 らかになる． 同様の手法で他の離散パンルヴェ方程式の表示を得た．
サインゴルドン方程式に対応する超離散系を提出した． 離散サインゴルドン方程式の新しい従属変数は超離散化の手続きを適用するた めに導入される． その超離散系は離散方程式のソリトン解と直接に関係する厳密解を持つ．
離散および超離散変形KdV方程式の新しい種類の解を提出した． これらは運搬車付き箱玉系の解と直接に対応する． 更に，拡張した箱玉系とその厳密解について論じた．
2成分KP階層の時間変数に依存するスペクトル変数を用いた拡張を提出した． 係数が2×2行列である線型系がその階層から簡約の手続きを通して得 られる． パンルヴェ6型方程式のラックス対がその線型系から得られた． また，他のパンルヴェ方程式を通常の2成分KP階層から扱う統一的な方法を提 出した．
離散変形KdV方程式は正と負の振幅を持つソリトンの相互作用を記述する不定 符号の厳密解を持つ． 双曲線正弦関数型の変換をこの方程式と解の超離散化のために提案した．
ミウラ変換の超離散類似を離散のKdV及び変形KdV方程式の双線型形式を用いて 構成した． この変換は「運搬車付き箱玉系」の解を「箱玉系」の解に写す． 解の具体例についても議論した．
負定曲率曲面の超離散化を提案した． 様々な座標と従属変数の変換を超離散化の方法を適用するために導入する． 超離散曲面の外観は連続や離散曲面と類似している．

発表論文

  1. M. Murata: "Special Function Solutions of A0(1)-surface Painlevé Equations", Master's thesis, Univ.Tokyo (2002). [ Pdf ]
     
  2. M. Murata, H. Sakai, and J. Yoneda: "Riccati solutions of discrete Painlevé equations with Weyl group symmetry of type E8(1)", J. Math. Phys., 44 (2003), 1396--1414. [ Abstract ]
     
  3. M. Murata: "New Expressions for Discrete Painlevé Equations", Funkcial. Ekvac., 47 (2004), 291--305. [ Abstract ]
     
  4. S. Isojima, M. Murata, A. Nobe and J. Satsuma: "An ultradiscretization of the sine-Gordon equation", Phys. Lett. A, 331 (2004) no.6 378-386. [ Abstract ]
     
  5. M. Murata, S. Isojima, A. Nobe and J. Satsuma: "Exact solutions for discrete and ultradiscrete modified KdV equations and their relation to box-ball systems", J. Phys. A: Math. Gen., 39 (2006), no.1 L27--L34. [ Abstract ]
     
  6. M. Murata: "Two-component soliton systems and the Painlevé equations", Doctoral thesis, Univ. Tokyo (2006). [ Abstract ] [ Pdf ]
     
  7. S. Isojima, M. Murata, A. Nobe and J. Satsuma: "Soliton--anti-soliton collision in the ultradiscrete modified KdV equation", Phys. Lett. A, 357 (2006) no.1 31-35. [ Abstract ]
     
  8. S. Kubo, S. Isojima, M. Murata and J. Satsuma: "Ultradiscrete Miura transformation", Phys. Lett. A, 362 (2007) no.5-6 430-434. [ Abstract ]
     
  9. Y. Nakata, S. Isojima, M. Murata, J. Satsuma and K. Yano: "Ultradiscrete surfaces with constant negative gaussian curvature", Preprint.
     

口頭発表

  1. Elliptic-difference Painlevé Equation and Elliptic Hypergeometric Series, Infinite Analysis Seminar Tokyo, The University of Tokyo, May 2001.
     
  2. 超離散ソリトン方程式とその解, 短期共同研究「可積分系数理の展望と応用」, Kyoto University, August 2004.
     
  3. New expressions for discrete Painlevé equations, Kobe Seminar on Integrable Systems, Kobe University, May 2005.
     
  4. The sixth Painlevé equation as similarity reductions of two-component soliton system, Kobe Workshop on Integrable systems and Painlevé systems, Kobe University, November 2005.
     
  5. ２成分ソリトン系とパンルヴェ６型方程式, 日本数学会年会無限可積分系セッション, Chuo University, March 2006.
     
  6. Two-component soliton systems and the Painlevé equations, Kobe Seminar on Integrable Systems, Kobe University, May 2006.

発表論文(講究録等)

発表論文(arXiv)

要旨

Poster発表

口頭発表(共同研究)

口頭発表(サマーセミナー)

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