計算の現場

岡本 和夫*

OKAMOTO Kazuo (1948.3.24 Tokyo)

可積分系の理論

パンルヴェ方程式、多変数特殊関数、積分可能系

現在の研究概要（学生向け）

　複素領域における非線型微分方程式が定める特殊函数のプロトタイプはパンルヴェ超越函数である。ハミルトン構造、ベックルント変換、初期値空間の構成、等いろいろな見地からパンルヴェ方程式に取り組んできた。対象が同じなのだから当然といえば当然であるが、これらいろいろな数理現象相互の関係が段々よく見えるようになっている。
　また、パンルヴェ方程式の特殊解の構造を詳しく調べると、戸田方程式による表示、広田の双一次形式による表示、シューア関数との関係などから予想されることではあるが、ソリトン型方程式などの可積分系との関係が深い。また、数学や数理物理学のいろいろな場面にパンルヴェ方程式が現れるようになったこと、離散パンルヴェ系の研究の発展とその成果のフィードバック等により、研究の手法と見方に益々の幅と広がりができた。古くから問題とされてきたことに解決の道筋が着きつつあるのと同時に、新しい視点が生まれている現状をみると、将来に楽しみがもてる。方程式自身の持つ構造の研究はもとより、パンルヴェ方程式を利用してもっと広い数学にどのくらい切り込めるか、このことがこの分野の研究にとって重要な要素である。
　パンルヴェ方程式の拡張はいくつか知られている。いずれも面白いことがあるが、最近直接対象としているのは、ガルニエ系である。これは多時間多ハミルトニアンのハミルトン系で表される非線形完全積分可能系であり、パンルヴェ方程式の多変数版に当たり、実際に、２変数ガルニエ系がパンルヴェ方程式の解を特殊解として持ち、３変数ガルニエ系は２変数ガルニエ系の解を特殊解として持つ、という階層構造が確かめられている。
　しかし、ガルニエ系についてはベックルント変換や初期値空間の構成も完成してはいない。パンルヴェ方程式と比べても、ガルニエ系の研究は未だ発展途上であり、別の言い方をすれば前途洋々である。

可積分系に興味を持つ学生へ

　新しい数学的な「もの」を発見し、それについて調べる、という数学は別に新しいことではない。発見された「もの」が新しいのは当然だが、そこに至る方法もこれまで誰も知らないような真に新しいものであるだろう。だからこの分野には、これだけ勉強していれば十分、ということもないし、絶対に欠くべからざる固定した手法があるわけでもない。学部時代には、解析学に限らず代数学、幾何学、数理物理学など広い興味と関心を持って勉強してほしい。是非とも必要な基礎分野を言うならば、複素関数論と微分方程式論である。また、量子力学の初歩は授業あるいは独学でも学んでおくことは大切である。
　数理的な実験や試行を繰り返す中で、新しい「もの」が発見されるが、このとき必要なのは、目的に応じて何でも学び吸収する柔軟性である。

研究概要（2008年度研究成果報告書）

主な研究対象は複素領域における微分方程式論，特に可積分系の理論である。複素領域における線型常微分方程式の理論は，多くの分野への多種多様な応用がなされ，長い歴史をもった分野である。これらの結果を二つの方向へ拡張することが研究目的である。すなわち，非線型常微分方程式と偏微分方程式から成る可積分系の研究である。具体的には次のような課題を研究している。

  1. 非線型可積分系の変換理論
  2. ある種の偏微分方程式の対称性
  3. 多変数特殊関数論

ここ１０年間の研究成果の主なものはパンルヴェ方程式とその一般化に関するものである。 パンルヴェ方程式に関係するハミルトン系の双有理正準変換，いわゆるベックルント変換，の構造についてはよく知られている。 ある可積分系のハミルトン構造は線型常微分方程式のホロノミックな変形により導かれるが，パンルヴェ方程式の拡張であるガルニエ系もその例である。 ガルニエ系は多重ハミルトン系で表され，その退化として多くの非線型完全積分可能系が得られる。 実際，第二パンルヴェ方程式の多変数化である多重ハミルトン系に対しても双有理正準変換の族を定めることができる。

パンルヴェ方程式は、双有理正準変換に加えて、代数的な変換を許す場合がある。 この変換をパンルヴェ方程式の折り畳み変換という。 そのような場合、つまりそのときのパラメータの値と折り畳み変換の具体型を完全に分類したのが第一論文である。

近年の幾何学的な研究によれば，パンルヴェ方程式は８種類に分類することができる。 実際には，パンルヴェIII型方程式の退化した場合を２つ独立に考察する必要がある。 これまでの研究はジェネリックな場合に集中していたので，これをすべて補ったのが，第二論文である。

発表論文

  1. T. Tsuda, K. Okamoto and H. Sakai: Folding transformations of the Painlevé equations, Math. Ann., 331 (2005), 165-229.
  2. Y. Ohyama, H. Kawamuko, H. Sakai and K. Okamoto: Studies on the Painlevé equation V, third Painlevé equations of the type PIII(D7) and PIII(D8), J. Math. Sci. Univ. Tokyo, 13 (2006), 145-204.
過去の論文

口頭発表

  1. The Painlevé systems and the Garnier systems, Conference on Théories asymptotiques et équations de Painlevé, フランス, 2004 年 6 月
  2. Bilinear representation of degenerates Garnier systems in two variables, 梅村浩先生還暦研究集会, 名古屋大学, 2004 年 12 月
  3. パンルヴェ方程式の数理，Pathway Lecture Series in Mathematics, Keio, 慶應義塾大学，2005 年 12 月
  4. 退化ガルニエ系のτ関数の満たす方程式，研究集会「複素領域における微分方程式」，熊本大学，2006 年 3 月
  5. The differential equations satisfied by the tau-functions of the Painlevé equations, Conference on Continuous and discrete Painlevé equations, フィンランド，2006 年 3 月
  6. Introduction to the painlevé equations (4 lectures), A Newton institute Workshop on Painlevé equations and monodromy problems, イギリス，2006 年 9 月
  7. From Strasbourg to Tokyo, 国際研究集会「From Painlevé to Okamoto」，東京大学，2008 年 6 月
  8. The differential equations satisfied by the tau-functions of the degenerate Garnier systems, Journées franco-japonaises en l'honneur de Kazuo Okamoto autour des équations de Painlevé, フランス，2008 年 11 月

講演記録

  1. 数学の力：シンポジウム「質の高い学力を求めて」，東京大学，2008 年 3 月
  2. 新指導要領と高等学校数学：岡山県高教研数学部会美作支部研究会，2008 年 5 月
  3. 新指導要領と高等学校数学：東三河地区高等学校数学研究会，2008 年 10 月
  4. なぜ今勉強をするのか：福岡大学附属大濠中学・高等学校，2008 年 11 月
  5. 数学のエスプリ：サイエンスカフェ第26回，2008 年 12 月

講義

  1. 数学教育I：指導要領を題材として，数学教育の変遷を論じた．（教育学部・全学共通教職科目，夏学期）
  2. 数学カリキュラムの構造研究（教育学研究科）：中学校と高等学校の数学の指導要領について，その変遷を調べ指導要領のあり方と内容について検討を加えた．（夏学期）
  3. 数学カリキュラムの展開研究（教育学研究科）：構造研究の授業は総論であるがここでは各論を扱った．具体的な数学テーマについて掘り下げた．（冬学期）
  4. 福井大学・集中講義数学教育I：指導要領を題材として，数学教育の変遷を論じた．（2009年1月）

対外研究サービス

  1. 大学総合教育研究センター長
  2. 日本学術会議連携会員
  3. 東京大学出版会理事長
  4. Funkcialaj Ekvacioj, editor
  5. 日仏会館幹事
  6. 日仏理工科会副会長
  7. 日本数学協会副会長

受賞

  1. 2011年度日本数学会賞出版賞「関流和算書大成」

著書

新版数学シリーズ　新版基礎数学　演習　改訂版   実教出版 (監修)
発行日: 2020年7月   ISBN: 978-4-407-34888-0   形態: 128P 21cm
●「新版基礎数学　改訂版」に完全に準拠した問題集。
●教科書のまとめを掲載。
●A問題→B問題→発展問題と段階式に配列。
●A問題には、該当する教科書の練習問題番号を記載。
●各章末には、章のまとめの問題を掲載。
●はじめて学習する内容には、例題付き。 [目次]
新版数学シリーズ　新版基礎数学　改訂版   実教出版 (監修)
発行日: 2020年5月   ISBN: 978-4-407-34887-3   形態: 272P 21cm
●大学初年次、高専での使用に適した教科書。
●何よりの特徴は、懇切丁寧な解説。
●適切な例題が、理解に不可欠。定着のために、振り返って解くことが必須です。
●全体を通した学習には一見外れるように見え、数学への興味をいやましにする事項を、“研究”で扱っています。たとえば、ヘロンの公式。
●数多く掲載した問題について、略解を巻末に、詳しい解説はWEBに掲載しています。
●本書に対応した問題集「新版基礎数学 演習 改訂版」を同時発行。 [目次]
パンルヴェ方程式   岩波書店
発行日: 2019年4月10日   ISBN: 978-4-00-730868-0   形態: 302P 21cm
動く分岐点を持たない非線型常微分方程式は特別な場合を除き6種類しかない．それがパンルヴェ方程式である．数理物理への驚くべき応用が見つかるなど，新たな微分方程式論，代数解析論への道を開く． [目次]
数学の森 - 大学必須数学の鳥瞰図   東京図書 (共著)
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発行日: 2013年11月10日   ISBN: 978-4-407-32172-2   形態: 234P 21cm
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新版数学シリーズ　新版微分積分演習   実教出版 (監修)
発行日: 2013年10月15日   ISBN: 978-4-407-33249-0   形態: 120P 21cm
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新版数学シリーズ　新版微分積分 基礎から偏微分 重積分 微分方程式まで   実教出版 (監修)
発行日: 2013年10月15日   ISBN: 978-4-407-33248-3   形態: 312P 21cm
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新版数学シリーズ　新版微分積分II演習   実教出版 (監修)
発行日: 2013年3月   ISBN: 978-4-407-32176-0   形態: 64P 21cm
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（別冊解答24頁） [目次]
新版数学シリーズ　新版確率統計演習   実教出版 (監修)
発行日: 2012年11月   ISBN: 978-4-407-32177-7   形態: 48P 21cm
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●丁寧な説明で理解しやすく、豊富な問題で理解の定着をはかります。
（別冊解答12頁） [目次]
新版数学シリーズ　新版確率統計   実教出版 (監修)
発行日: 2012年11月   ISBN: 978-4-407-32171-5   形態: 128P 21cm
●おもに高専を対象とした数学のテキスト。
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新版数学シリーズ　新版微分積分II   実教出版 (監修)
発行日: 2012年11月   ISBN: 978-4-407-32170-8   形態: 216P 21cm
●おもに高専を対象とした数学のテキスト。
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新版数学シリーズ　新版基礎数学演習   実教出版 (監修)
発行日: 2012年3月   ISBN: 978-4-407-32175-3   形態: 52P 21cm
●おもに高専を対象とした数学のテキスト。
●丁寧な説明で理解しやすく、豊富な問題で理解の定着をはかります。
（別冊解答20頁） [目次]
新版数学シリーズ　新版微分積分I演習   実教出版 (監修)
発行日: 2011年10月   ISBN: 978-4-407-32174-6   形態: 44P 21cm
●おもに高専を対象とした数学のテキスト。
●丁寧な説明で理解しやすく、豊富な問題で理解の定着をはかります。
（別冊解答20頁） [目次]
新版数学シリーズ　新版線形代数   実教出版 (監修)
発行日: 2011年10月   ISBN: 978-4-407-32169-2   形態: 208P 21cm
●おもに高専を対象とした数学のテキスト。
●丁寧な説明で理解しやすく、豊富な問題で理解の定着をはかります。 [目次]
関流和算書大成―関算四伝書―第三期   勉誠出版 (編集)
発行日: 2011年2月   ISBN: 4-585-10446-1   形態: 33cm
世界水準にあったとされる関孝和の数学。「関流」和算書の集大成である関算四伝書（全五一一冊）の全貌を影印初公開。数理科学史研究、日本文化史研究に必備の基礎資料。
全三期完結！
新版数学シリーズ　新版基礎数学演習   実教出版 (監修)
発行日: 2010年12月   ISBN: 978-4-407-32173-9   形態: 104P 21cm
●おもに高専を対象とした数学のテキスト。
●丁寧な説明で理解しやすく、豊富な問題で理解の定着をはかります。
（別冊解答48頁） [目次]
新版数学シリーズ　新版微分積分Ｉ   実教出版 (監修)
発行日: 2010年12月   ISBN: 4-407-32168-7   形態: 159P 21cm
●おもに高専を対象とした数学のテキスト。
●丁寧な説明で理解しやすく、豊富な問題で理解の定着をはかります。 [目次]
新版数学シリーズ　新版基礎数学   実教出版 (監修)
発行日: 2010年12月   ISBN: 4-407-32167-9   形態: 279P 21cm
●おもに高専を対象とした数学のテキスト。
●丁寧な説明で理解しやすく、豊富な問題で理解の定着をはかります。 [目次]
脳のビタミン　もう一度数学を   実教出版 (編集)
発行日: 2010年8月   ISBN: 4-407-31989-5   形態: 159P 21cm
●数学が苦手だと思っていませんか　 四則演算だけで数学の世界が広がることがわかります。数学をほんとうに優しく書いた入門書です。
●数学は世の中に役に立つの？　 バーコードの読み違いはどうやって防ぐの？古代エジプトではどうやってピラミッドの高さを測ったの？数学は役に立っているのです。
●多くの図が入っています　 どのページにも、わかりやすい図、興味を引く図がいっぱい入っています。
●さぁ数学にトライ　 学生時代を思い出してもう一度数学のページをめくってみませんか。案外わかりますよ。
●教科書出版70年の実績を持つ実教出版が送る　 十分な時間と多くの知識を集大成した教科書をベースにして編修された教養書です。 [目次]
関流和算書大成―関算四伝書―第二期   勉誠出版 (編集)
発行日: 2010年3月   ISBN: 4-585-10445-3   形態: 3650P 33cm
『関算四伝書』は、和算家・戸板保佑（１７０８〜１７８４）によって編簒された、関孝和（？〜１７０８）に始まる「関流和算」を体系的に概観することのできる唯一の資料。全５０７冊からなる。記号代数学の達成など、当時における非常に高度な数学的成果をみることができる。度量衡や軍事技術・農政などに応用される資料も含まれており、数学史研究のみならず日本文化史研究においても参照できる非常に貴重な資料である。
パンルヴェ方程式   岩波書店
発行日: 2009年2月   ISBN: 4-00-005836-3   形態: 320P 21.4cm
動く分岐点を持たない非線型常微分方程式は特別な場合を除き6種類しかない．それがパンルヴェ方程式である．数理物理への驚くべき応用が見つかるなど，新たな微分方程式論，代数解析論への道を開く．その研究の唯一の手がかりとされてきた著者の講究録がついに大幅な加筆・改訂を経て刊行される．まさに待望の書である． [目次]
関流和算書大成―関算四伝書―第一期   勉誠出版 (編集)
発行日: 2008年3月   ISBN: 4-585-10440-2   形態: 2292P 33cm
没後300年記念出版
関孝和(?〜1708)に始まる「関流」の和算を体系的に概観することのできる唯一の基礎的資料である戸板保佑(1708〜1784)編纂の『関算四伝書』を、広く研究の活用に供すべく、その全篇を影印・刊行。
『関算四伝書』は、18世紀後半に活躍をした和算家が個人として編集した叢書としては、今のところ最大のもので、1780年代までに編纂された関流の和算に関わる資料(写本)のほとんどを網羅している。 掲載内容は、算術ばかりではなく、度量衡や軍事技術・農政などの算術の関連分野の稀覯書も含まれており、数学史研究のみならず日本文化史研究においても参照できる、非常に貴重な資料である。 [目次]
初歩からの数学   放送大学教育振興会 (共著) (絶版)
発行日: 2008年3月   ISBN: 4-595-30862-0   形態: 216P 21cm
数学は体系性を重んじる科学諸分野のなかでも，際立って論理性を重視する学問である。そのために，論理的に積み上げていくという過程の１ステップを踏み外しただけで，その後の展開が全く理解できなくなってしまうという側面がある。本書は，工学系，社会科学系をはじめ，数学的な知識と技術を必須とする専門分野を目指す人々に，微積分や線型代数の基本を，コンピュータの先進的機能を利用し，知的で親しみやすい話を採り入れ，分かりやすく解説する。 [目次]
自然と社会を貫く数学   放送大学教育振興会 (絶版)
発行日: 2007年3月   ISBN: 4-595-30749-7   形態: 194P 21cm
数学がどのように発展し，現在のような形を作ってきたのかを概観したうえで，自然と社会を貫く数学について，具体的な事例に沿って紹介する。簡単な数学史，微分方程式，暗号と符号の理論を題材として扱う。微分方程式は自然を記述するために不可欠な数学的道具であるが，微分方程式そのものについて教えるのではなくて，これがどのように使われているか，その意味は何か，ということを理解する。また，暗号と符号の理論はコンピュータ・ネットワークの安全性を保証する数学であることから，私たちの生活に直結している数学として考える。 [目次]
数学者は城の中？   日本評論社 (解説)
発行日: 2003年1月   ISBN: 4-535-78351-9   形態: 80P 19cm
『数の悪魔』のエンツェンスベルガーが、文化の中の数学や数学者とはなにかを数学の外側から語る。数学者・岡本和夫が、数学の内側から、解説を加えながら、数学と文化、数学と社会について現状と問題点を語る。
岡本和夫の基礎数学シリーズ 行列と１次変換   実教出版
発行日: 1998年9月   ISBN: 4-407-02391-0   形態: 252P 22cm
大学初年の学生を対象とした，真にやさしい数学の入門書。高校数学と大学数学の橋渡しをする書籍として編修した。 [目次]
岡本和夫の基礎数学シリーズ 微分と積分   実教出版
発行日: 1998年9月   ISBN: 4-407-02395-3   形態: 263P 22cm
大学初年の学生を対象とした，真にやさしい数学の入門書。高校数学と大学数学の橋渡しをする書籍として編修した。 [目次]
すうがくぶっくす(15) 微分積分読本   朝倉書店
発行日: 1997年2月   ISBN: 4-254-11491-5   形態: 296P 21cm
"五感を動員して読む"ことの重要性を前面に押し出した著者渾身の教科書。自由な案内人に従って，散歩しながら埋もれた宝ものに出会う風情。 [目次]
基礎数学(7) 解析演習   東京大学出版会 (共著)
発行日: 1989年11月   ISBN: 4-13-062105-X   形態: 402P 22cm
本書はおもに理工系学部進学予定の大学１，２年を対象とした微積分法の演習書である．重要事項や定理を各章の最初にまとめ，基本的な例題からやや進んだ問題までを精選し，それぞれについてくわしい解説を付した． [目次]
パンルヴェ方程式序説   上智大学数学講究録 (絶版)
発行日: 1985年2月   形態: 274P 25.5cm [目次]


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